En outre, l`ensemble de puissance d`un ensemble est toujours strictement «plus grand» que l`ensemble original dans le sens qu`il n`y a aucun moyen de coupler chaque élément de S avec exactement un élément de P (S). Si y n`est pas un membre de B alors ceci est écrit comme y ∉ B, et est lu comme “y n`appartient pas à B”. L`ensemble de puissance d`un ensemble infini (soit comptable ou uncountable) est toujours uncountable. Les exemples incluent l`ensemble de tous les ordinateurs dans le monde, l`ensemble de toutes les pommes sur un arbre, et l`ensemble de tous les nombres irrationnels entre 0 et 1. L`Union de A et B, notée par A ∪ B, est l`ensemble de toutes choses qui sont membres de A ou de B. Les nombres premiers sont utilisés moins fréquemment que les autres en dehors de la théorie des nombres et des champs connexes. Parfois, la barre verticale («|») est utilisée à la place du signe deux-points. Dans une tentative d`éviter ces paradoxes, la théorie des set a été axiomatisée sur la base de la logique du premier ordre, et donc la théorie de l`ensemble axiomatique est née. C`est à vous de définir un exemple. Par exemple, les nombres 2, 4 et 6 sont des objets distincts lorsqu`ils sont considérés séparément, mais lorsqu`ils sont considérés collectivement, ils forment un ensemble unique de taille trois, écrit {2, 4, 6}. Dans les exemples ci-dessus, par exemple, A = C et B = D. La cardinalité de l`ensemble vide est zéro. Le principe d`inclusion – exclusion est une technique de comptage qui peut être utilisée pour compter le nombre d`éléments dans une Union de deux ensembles, si la taille de chaque ensemble et la taille de leur intersection sont connues.
Les objets qui composent un ensemble (également connu sous le nom des éléments ou des membres de l`ensemble) peuvent être n`importe quoi: nombres, personnes, lettres de l`alphabet, d`autres ensembles, et ainsi de suite. De façon équivalente, nous pouvons écrire B ⊇ A, lu comme B est un sur-ensemble de A, B inclut A, ou B contient A. L`ensemble de puissance d`un ensemble S est l`ensemble de tous les sous-ensembles de S. L`ensemble de puissance d`un ensemble fini avec n éléments a 2n éléments. Le complément d`une Union B équivaut au complément de A intersecté avec le complément de B. Il était important de libérer la théorie de ces paradoxes parce que presque toutes les mathématiques étaient redéfinies en termes de théorie de l`ensemble. Dans de tels cas, U A est appelé le complément absolu ou simplement le complément de A, et est désigné par A ′. Les ensembles A et B sont égaux si et seulement s`ils ont exactement les mêmes éléments. Pour les ensembles avec de nombreux éléments, l`énumération des membres peut être abrégée.
Par exemple, la différence symétrique de {7, 8, 9, 10} et {9, 10, 11, 12} est l`ensemble {7, 8, 11, 12}. Beaucoup de ces ensembles sont représentés à l`aide de caractères gras ou gras tableau noir. Il existe un ensemble unique sans membres, appelé le jeu vide (ou l`ensemble null), qui est désigné par le symbole ∅ (d`autres notations sont utilisées; voir jeu vide).
